Dosen Pengampu:

Hidayat Panuntun, S.T., M.Eng., D.Sc.

Program Sarjana Terapan

Teknologi Survei dan Pemetaan Dasar

Matematika untuk Survei

dan Pemetaan

Minggu 12 –

Fungsi

• Suatu fungsi f dari himpunan A ke

himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B

• Apabila f memetakan suatu elemen x ∈ A

ke suatu y ∈ B dikatakan bahwa y adalah peta dari x oleh f

• Peta ini dinyatakan dengan notasi f(x),

dan biasa ditulis dengan f : x → f(x), sedangkan x biasa disebut prapeta dari f(x)

Pengertian

Daerah asal dan hasil

Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f

Himpunan B disebut daerah hasil (kodomain)

Himpunan dari semua peta di B dinamakan dengan hasil (range) dari fungsi f tersebut

• Syarat dikatakan sebuah fungsi apabila:

1. Setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B

2. Tidak boleh membentuk cabang

Syarat Fungsi

Contoh

→ Fungsi

→ Bukan Fungsi

→ Bukan Fungsi

→ Fungsi

Jika 𝑥 sama dengan 1 maka 𝑦 yang mungkin adalah 1 atau -1

Sifat fungsi

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi

• Injektif • Surjektif • Bijektif

• Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi

satusatu (injektif), apabila setiap anggota himpunan B memiliki satu pasangan dengan anggota himpunan A

Injektif

• Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah

hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B

• Fungsi surjektif 𝑓: 𝐴 → 𝐵 jika setiap anggota himpunan B merupakan

pasangan dari anggota himpunan A, atau himpunan B adalah kodomain

Surjektif

• Suatu pemetaan f : A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan

fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”

• Setiap anggota himpunan B memiliki pasangan dari anggota

himpunan A, dan masing-masing anggotanya memiliki satu pasangan

Bijektif

Diagram hubungan

Penyajian Fungsi

Fungsi dapat disajikan dalam bentuk

Dalam bentuk tabel

Dalam bentuk himpunan pasangan teturut

Memberikan range dari fungsi

• Diberikan domain sebuah fungsi adalah 𝐷 = -2, -1, 0, 1, 2 , dan

kodomain berupa bilangan riil, didefinisikan fungsi sbb 𝑔(𝑥) = 𝑥2.

Sajikan fungsi tersebut ke dalam tiga jenis penyajian fungsi

• Jawab

Contoh

Range fungsi dari g adalah {0,1,4}

• Sebuah persamaan bisa didefinisikan sebagai sebuah fungsi • Contoh, diketahui sebuah persamaan:

2x + 3y – 4 = 0

• Cara menjadikan persamaan di atas menjadi sebuah fungsi adalah

dengan mengeluarkan 𝑦 untuk mendefinisikan fungsi secara eksplisit

• Berdasarkan konvensi yang digunakan sebagai input adalah 𝒙 dan

output adalah 𝒚

• Variabel 𝒙 disebut sebagai variabel independent, sedangkan variabel 𝒚

disebut sebagai variable dependen karena nilainya bergantung pada input

Fungsi dan Persamaan

Jenis Fungsi (sample)

Fungsi Konstan

Fungsi

Identitas

Fungsi Linear

Fungsi Kuadrat

• f : x → C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap) • Fungsi f memetakan setiap bilangan real dengan C • Contoh • Fungsi f : x → 3

Fungsi Konstan

• Fungsi R → R yang didefinisikan sebagai f : x → x disebut fungsi

identitas

Fungsi Identitas

• Fungsi pada bilangan real yang

didefinisikan f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear

• Grafik fungsi linier berupa garis lurus • Contoh • y = 2x + 3

Fungsi Linear

• Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R

dan a ≠ 0

• Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut

fungsi parabola. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum

• Jika a < 0 parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik

maksimum

Fungsi Kuadrat

• Penjumlahan fungsi f dan g dituliskan dengan f + g atau

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

• Pengurangan fungsi f dan g dituliskan dengan f – g atau

(f – g) (x) = f(x) – g(x)

• Perkalian fungsi f dan g dituliskan dengan f g atau

(fg) (x) = f(x)g(x)

• Pembagian fungsi f dan g dituliskan dengan

𝑓 𝑔 atau

𝑓

𝑔

𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

Operasi Aritmatika

• Diberikan 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 − 2𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 3 −

1

𝑥

• Tentukan (f + g) (-1) dan (fg)(2) • Jawab

Contoh

• f(x) = 3x + 1 dan g(x) = 4 – x • Tentukan (f + g)(2), (fg)(1/2), (f – g)(–1), dan (g/f)(–2) • • Jawab: • (f + g) (2) = 9 • (fg)(1/2) = 35/4 • (f – g)(–1) = –7 • (g/f)(–2) = –6/5

Contoh