Révision des Probabilités et Variables Aléatoires

Révision des Probabilités et Variables Aléatoires

La révision des probabilités et des variables aléatoires couvre des concepts fondamentaux tels que les lois géométriques et exponentielles. Ce document est conçu pour les étudiants en mathématiques et en statistiques, offrant des exercices pratiques et des théorèmes essentiels. Les sections incluent des calculs d'espérance, de variance, et des propriétés asymptotiques. Idéal pour ceux préparant des examens en probabilités, ce guide aide à renforcer la compréhension des distributions et des moments statistiques.

Key Points

  • Couvre les lois géométriques et exponentielles en profondeur
  • Inclut des exercices pratiques sur l'espérance et la variance
  • Présente des propriétés asymptotiques des variables aléatoires
  • Conçu pour les étudiants en mathématiques et en statistiques
  • Nidal Sellika
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Révision : Probabilités et variables aléatoires
PROBLÈME I: Pour réviser les notions de base.
L’objet du problème est l’étude d’un couple de variables aléatoires indépendantes suivant une loi géo-
métrique de même paramètre .
Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont supposées définies sur un es-
pace probabilisé (Ω, A, P). Sous réserve d’existence, on note E (X) et V (X) respectivement l’espérance
et la variance d’une variable aléatoire X, et Cov (X, Y ) la covariance de deux variables aléatoires X et
Y .
Dans la partie II, la fonction de répartition et une densité d’une variable aléatoire X à densité sont
notées respectivement F
X
et f
X
.
Pour n entier supérieur ou égal à 2, on dit que les variables aléatoires à densité X
1
, X
2
, ..., X
n
sont indé-
pendantes si pour tout n−uplet (x
1
, x
2
, ..., x
n
) de réels, les évènements [X
1
⩽ x
1
] , [X
2
⩽ x
2
] , ..., [X
n
⩽ x
n
]
sont indépendants.
L’objet du problème est double. D’une part, montrer certaines analogies entre les lois géométriques et
exponentielles, d’autre part mettre en évidence quelques propriétés asymptotiques de variables aléa-
toires issues de la loi exponentielle.
La partie II est indépendante de la partie I. La partie III est indépendante de la partie II et largement
indépendante de la partie I.
Partie I: Loi gémètrique
1.
(a) Justifier l’existence et calculer les valeurs respectives de E(X
1
) et V (X
1
) .
(b) Calculer P ([X
1
⩽ k]), pour tout k de X
1
(Ω).
(c) Calculer E (X
1
+ X
2
), V (X
1
+ X
2
), E (X
1
− X
2
), V (X
1
− X
2
).
(d) Etablir la relation : P ([X
1
= X
2
]) =
p
1+q
2.
(a) Montrer que Z suit la loi géométrique de paramètre 1 −q
2
. En déduire E (Z), V (Z) et E (T ).
(b) Soit k un entier de N
∗
. Justifier l’égalité : [Z = k] ∪ [T = k] = [X
1
= k] ∪ [X
2
= k].
En déduire la relation suivante : P (T = k) = 2P (X
1
= k) − P (Z = k).
(c) Etablir la formule : V (T ) =
q
(
2q
2
+q+2
)
(1−q
2
)
2
.
3. (a) Préciser (T − Z) (Ω). Exprimer pour tout j de N
∗
, l’évènement [Z = j] ∩ [Z = T ] en fonc-
tion des évènements [X
1
= j] et [X
2
= j]. En déduire pour tout j de N
∗
, l’expression de
P ([Z = j] ∩ [Z = T ])
(b) Montrer que pour tout couple (j, l) de (N
∗
)
2
, on a : P ([Z = j] ∩ [T − Z = l]) = 2p
2
q
2j+l−2
Devoir libre– © A.KHOUTAIBI – Lydex 1/59 31 mars 2024
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(c) Montrer que pour tout k de Z,
P ([X
1
− X
2
= k]) =
pq
|k|
1 + q
(on distinguera trois cas : k = 0, k > 0 et k < 0).
(d) En déduire la loi de la variable aléatoire |X
1
− X
2
|.
(e) Etablir à l’aide des questions précédentes que les variables Z et T − Z sont indépendantes.
4. (a) A l’aide du résultat de la question 10.e, calculer Cov (Z, T ). Les variables Z et T sont-elles
indépendantes?
(b) Calculer en fonction de q, le coefficient de corrélation linéaire ρ de Z et T .
(c) Déterminer la loi de probabilité du couple (Z, T ).
(d) Déterminer pour tout j de N
∗
, la loi de probabilité conditionnelle de T sachant l’évènement
[Z = j].
(e) Soit j un élément de N
∗
. On suppose qu’il existe une variable aléatoire D
j
à valeur dans N
∗
,
dont la loi de probabilité est la loi conditionnelle de T sachant l’évènement [Z = j]. Calculer
E (D
j
).
Partie II: Loi exponentielle
1.
(a) Rappeler la valeur de
Z
+∞
0
e
−t
dt. Etablir pour tout n de N
∗
la convergence de l’intégrale
Z
+∞
0
t
n
e
−t
dt.
On pose alors I
0
=
Z
+∞
0
e
−t
dt et,.pour tout n de N
∗
I
n
=
Z
+∞
0
t
n
e
−t
dt.
(b) Soit n un entier de N
∗
. A l’aide d’une intégration par parties, établir une relation de récur-
rence entre I
n
et I
n−1
. En déduire la valeur de I
n
en fonction de n.
Soit λ un réel strictement positif. Soit X
1
et X
2
deux variables indépendantes de même loi expo-
nentielle de paramètre λ (d’espérance 1/λ).
on pose : Y = X
1
− X
2
, T = max (X
1
, X
2
) et Z = min (X
1
, X
2
).
2. Justifier les relations T + Z = X
1
+ X
2
et T −Z = |X
1
− X
2
| = |Y |.
3.
(a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de V (X
1
) et de P ([X
1
⩽ x]), pour tout
réel x.
(b) Calculer E (X
1
+ X
2
), V (X
1
+ X
2
), E (Y ), V (Y ).
4. Déterminer pour tout réel z, F
Z
(z) et f
Z
(z). Reconnaître la loi de Z et en déduire E (Z) et V (Z).
5.
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(a) Montrer que pour tout réel t, on a : F
T
(t) =
(
1 − e
−λt
2
0
si t ⩾ 0
si t < 0
. Exprimer pour tout
réel t, f
T
(t).
(b) Justifier l’existence de E (T ) et V (T ). Montrer que E (T ) =
3
2λ
et V (T ) =
5
4λ
2
.
(on pourra utiliser des changements de variables affine).
6. On note r le coefficient de corrélation linéaire de Z et T . Montrer que r = 1/
√
5.
7.
(a) Préciser Y (Ω) et |Y |(Ω).
(b) Déterminer une densité de la variable aléatoire −X
2
.
(c) Montrer que pour tout réel y, l’intégrale
Z
+∞
−∞
f
X
1
(t) f
−X
2
(y −t) dt est convergente et qu’elle
vaut
λ
2
e
−λ|y|
.
(on distinguera les deux cas : y ⩾ 0 et y < 0)
(d) Etablir que la fonction y 7→
λ
2
e
−λ|y|
est une densité de probabilité sur R ; on admet que c’est
une densité de la variable aléatoire Y .
(e) Déterminer pour tout y réel, f
|Y |
(y). Reconnaître la loi de |Y | = T − Z.
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FAQs of Révision des Probabilités et Variables Aléatoires

Quelles sont les principales lois de probabilité abordées dans ce document?
Ce document aborde principalement les lois géométriques et exponentielles, en expliquant leurs propriétés, calculs d'espérance et de variance. Les lois géométriques sont souvent utilisées pour modéliser des essais jusqu'à un succès, tandis que les lois exponentielles sont utilisées pour modéliser le temps entre des événements dans un processus de Poisson. Les étudiants apprendront à appliquer ces lois à divers problèmes pratiques.
Comment calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire?
L'espérance d'une variable aléatoire est calculée en multipliant chaque valeur possible par sa probabilité et en faisant la somme de ces produits. La variance est calculée en prenant la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. Ce document fournit des exemples détaillés et des exercices pour aider à maîtriser ces calculs.
Quels types d'exercices pratiques sont inclus dans ce document?
Le document comprend des exercices pratiques sur le calcul de l'espérance et de la variance, ainsi que des problèmes sur les propriétés asymptotiques des variables aléatoires. Ces exercices sont conçus pour renforcer la compréhension des concepts théoriques et préparer les étudiants à des examens en probabilités.

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